Πολλαπλή παλινδρόμηση με έμφαση στο πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας.

Abstract

Η Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση αφορά έναν πληθυσμό όπου εξετάζουμε δύο χαρακτηριστικά- μεταβλητές Y & X και πιο συγκεκριμένα, μας ενδιαφέρει να δούμε πώς διαμορφώνονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής Y όταν μεταβάλλονται οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής X. Στην περίπτωση που διερευνούμε τρεις ή περισσότερες μεταβλητές με απώτερο σκοπό να διαπιστώσουμε κατά κύριο λόγο το πώς μεταβάλλονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής Y όταν γνωρίζουμε τις τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών X1, X2, …, Xn και κατά δεύτερον να εξετάσουμε τον βαθμό συσχέτισης ανάμεσα σε αυτές τις μεταβλητές. Η σχέση η οποία συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητής Y με τις περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές καλείται Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Η Απλή Παλινδρόμηση αναπαριστάνεται στο χώρο με μια ευθεία ή με μια άλλη καμπύλη ενώ αντίθετα η Πολλαπλή Παλινδρόμηση απεικονίζεται με μια επιφάνεια (επίπεδο) ή μια υπερεπιφάνεια. Η Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση εφαρμόζεται στην περίπτωση που διαθέτουμε ένα πλήθος ανεξαρτήτων μεταβλητών Xi, οι οποίες εμφανίζουν έντονες κατά προτίμηση γραμμικές συσχετίσεις με την εξαρτημένη μεταβλητή Y. Όσο πιο ισχυρές είναι αυτές οι συσχετίσεις τόσο πιο καλή εφαρμογή βρίσκει η Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση μέσω της μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων και προσαρμόζεται έτσι η εκτιμώμενη ευθεία παλινδρόμησης στα δεδομένα. Η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων μας βοηθά να εκτιμήσουμε τους συντελεστές παλινδρόμησης , να υπολογίσουμε τα σφάλματα ή αποκλίσεις , να κάνουμε ελέγχους υποθέσεων αναφορικά με τις παραμέτρους της παλινδρόμησης και παράλληλα να προβλέψουμε τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής Y. Αν όμως υφίστανται έντονες συσχετίσεις και ανάμεσα στις ανεξάρτητες μεταβλητές Xi , κατάσταση η οποία δεν είναι επιθυμητή ή οι προϋποθέσεις του γραμμικού μοντέλου δεν πληρούνται, τότε συνήθως καταφεύγουμε στην χρήση κατάλληλων μετασχηματισμών για να διορθωθεί το πρόβλημα και να προχωρήσουμε στην υλοποίηση της μεθόδου και στην στατιστική συμπερασματολογία. Οι προϋποθέσεις που αφορούν το γραμμικό μοντέλο είναι :1) Η κανονικότητα των σφαλμάτων , 2) η ανεξαρτησία των σφαλμάτων , 3) η γραμμικότητα μεταξύ των ανεξαρτήτων μεταβλητών Xi και της εξαρτημένης μεταβλητής Y και 4) η Ομοσκεδαστικότητα των σφαλμάτων . Όταν τα σφάλματα δεν έχουν ίσες διακυμάνσεις προκύπτει το πρόβλημα της Ετεροσκεδαστικότητας, το οποίο μπορούμε να διαπιστώσουμε αν ισχύει διαγραμματικά εξετάζοντας τα σφάλματα ή «υπόλοιπα» του μοντέλου. Η Ομοσκεδαστικότητα είναι μία από τις βασικότερες υποθέσεις του γραμμικού μοντέλου και η μη ικανοποίηση της έχει αντίκτυπο στην σωστή εφαρμογή της Πολλαπλής Παλινδρόμησης. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, η λύση στο πρόβλημα της Ετεροσκεδαστικότητας και γενικά σε κάθε απόκλιση από τις υποθέσεις της Παλινδρόμησης είναι ο μετασχηματισμός των μεταβλητών.