Θεωρία πιθανοτήτων ως το μαθηματικό θεμέλιο της στατιστικής – Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Abstract

Η εργασία αυτή εστιάζεται στην ανάδειξη του ρόλου της έννοιας της θεωρίας των πιθανοτήτων ως το μαθηματικό θεμέλιο της στατιστικής. Βασικός σκοπός της εργασίας μας αποτελεί η ανάλυση των βασικών της εννοιών και ο τρόπος με τον οποίο μπορεί αυτή να εφαρμοστεί σε ένα μεγάλο μέρος σύγχρονων επιστημονικών και τεχνολογικών περιοχών. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων μας επιτρέπει να υπολογίσουμε ένα μέτρο της βεβαιότητας για τα συμπεράσματα στα οποία καταλήγουμε από την εφαρμογή στατιστικών μεθόδων ανάλυσης και πρόβλεψης. Η Επαγωγική Στατιστική παρέχει τις μεθόδους εκείνες που μας επιτρέπουν να γενικεύουμε δειγματοληπτικά συμπεράσματα, δηλ. από τη μελέτη των στατιστικών παραμέτρων ενός αντιπροσωπευτικού δείγματος να εξάγουμε συμπεράσματα για τις αντίστοιχες παραμέτρους του πληθυσμού από τον οποίο έχει ληφθεί το δείγμα. Η Συνδυαστική ασχολείται με τη μέτρηση του πλήθους των σχηματισμών που προκύπτουν από ένα σύνολο στοιχείων και έχουν καθορισμένη δομή και ιδιότητες. Στόχος της Συνδυαστικής είναι η ανάπτυξη μεθόδων, αναλυτικών και αλγοριθμικών τεχνικών ώστε η μέτρηση του πλήθους των σχηματισμών να γίνεται όσο το δυνατόν αποτελεσματικότερα. Με απλά λόγια η Συνδυαστική απαντά σε προβλήματα του τύπου: (α) Με πόσους τρόπους μπορώ να κάνω κάτι (β) Πόσα αντικείμενα υπάρχουν με μια δοσμένη ιδιότητα Καλείται διάταξη των n στοιχείων ενός συνόλου Ε, λαμβανόμενων ανά m, κάθε διατεταγμένη ακολουθία m στοιχείων που λαμβάνεται από τα n στοιχεία του συνόλου Ε. Αν ορισμένα από τα m στοιχεία συμπίπτουν, τότε μιλούμε για διατάξεις με επανάληψη. Έστω Ε ένα σύνολο με n στοιχεία. Καλούμε συνδυασμό των n στοιχείων ανά m κάθε υποσύνολο του Ε που έχει m στοιχεία. Δυο συνδυασμοί που έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων μπορεί να διαφέρουν μόνο ως προς τα στοιχεία αυτά καθ’ αυτά και όχι λόγω της θέσεώς τους. Έστω Ε ένα σύνολο με n στοιχεία. Μια διάταξη των n στοιχείων του Ε ανά n λέγεται μετάθεση. Μετάθεση είναι μια ακολουθία των n στοιχείων του Ε, η απλούστερα μια διατεταγμένη n-ιάδα. Τυχαία μεταβλητή είναι η συνάρτηση που απεικονίζει κάθε απλό ενδεχόμενο ενός πειράματος σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό, απεικονίζει δηλαδή κάθε στοιχείο ενός δειγματικού χώρου σε έναν πραγματικό αριθμό. Η τυχαία μεταβλητή Χ λοιπόν αντιστοιχίζει το στοιχείο s του δειγματοχώρου στον αριθμό x με Χ(s) =x. Οι μεταβλητές διακρίνονται στις διακριτές και στις συνεχείς. Διακριτές είναι οι μεταβλητές που οι τιμές τους εκφράζονται μόνο με ακέραιους αριθμούς. Τέτοιες μεταβλητές είναι ο αριθμός των ανέργων, ο αριθμός των ποδηλάτων που κυκλοφορούν σε μία πόλη κλπ. Συνεχείς είναι οι μεταβλητές που παίρνουν οποιαδήποτε τιμή και στην πράξη εκφράζονται είτε με ακέραιους είτε με δεκαδικούς αριθμούς. Ενώ για τις τυχαίες διακριτές μεταβλητές εργαζόμαστε με αθροίσματα πιθανοτήτων και μπορούμε φυσικά να υπολογίσουμε πιθανότητες για συγκεκριμένες τιμές της τυχαίας μεταβλητής, για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές χρησιμοποιούμε ολοκληρώματα. Η μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των τιμών της τυχαίας μεταβλητής επί την πιθανότητα της κάθε τιμής. Εκφράζει ποια αναμένεται να είναι η τιμή της Χ μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων ενός πειράματος Για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές ορίζουμε μια Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, δηλαδή μια συνάρτηση που αναπαριστά την πυκνότητα – συγκέντρωση τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ. Ανάλογα με την πυκνότητα των τιμών σε συγκεκριμένο διάστημα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αποδίδει μια πιθανότητα. Η πιθανότητα αυτή ισούται με το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, από το ένα άκρο του διαστήματος ως το άλλο. Και όπως γνωρίζουμε για τα ολοκληρώματα, το ορισμένο ολοκλήρωμα από το ένα άκρο έως το άλλο, ισούται με το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στην καμπύλη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, τον άξονα των χ και τις δύο κατακόρυφες γραμμές που φέρουμε στα δύο άκρα του διαστήματος για το οποίο υπολογίζουμε την πιθανότητα Οι τιμές μιας διακριτής μεταβλητής για τα μέλη ενός πληθυσμού ή ενός δείγματος μπορούν να παρουσιαστούν συνοπτικά σε έναν πίνακα κατανομής συχνοτήτων. Οι σχετικές συχνότητες της μεταβλητής, όπως έχει ήδη αναφερθεί είναι οι απόλυτες συχνότητες f διαιρεμένες με το μέγεθος ν του πληθυσμού ή του δείγματος , f/v, πολλαπλασιασμένες επί 100, δηλαδή 100 f/v, εφόσον θέλουμε να τις εκφράζουμε ως ποσοστά επί τοις εκατό. Όταν η πιθανότητα για μια τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή x ακολουθεί τον παραπάνω τύπο με x=0,1,2,3,…v, τότε λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παράμετρο p και χρησιμοποιούμε το συμβολισμό X~B(v,p) , (όπου το Β προέρχεται από την Αγγλική λέξη binomial = διωνυμική). Η γεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p που επαναλαμβάνεται μέχρι να έχουμε μια επιτυχία. Η κατανομή Poisson χρησιμοποιείται πολύ συχνά σε περιπτώσεις όπου η επιτυχία είναι ένα σχετικά σπάνιο ενδεχόμενο, σε μια σειρά πολλών ίσως άπειρων δοκιμών. Στην περίπτωση δειγματοληψίας χωρίς επανάθεση από ένα «μικρό» πληθυσμό χρησιμοποιούμε την υπεργεωμετρική κατανομή. Αν Χ μια τυχαία μεταβλητή η οποία παίρνει τις τιμές x = 1,2…k με σταθερή πιθανότητα 1/k τότε λέμε ότι η Χ ακολουθεί την διακριτή ομοιόμορφη κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι η σημαντικότερη κατανομή από τις κατανομές των συνεχών αλλά και των διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Αποτελεί σύμφωνα με αρκετούς συγγραφείς και ερευνητές τη σημαντικότερη κατανομή πιθανότητας τόσο από θεωρητική άποψη όσο και από άποψη εφαρμογών. Αναφέρεται σε συνεχείς τυχαίες μεταβλητές που περιγράφουν φαινόμενα στα οποία επιδρά ένας μεγάλος αριθμός παραγόντων. Μια κανονική κατανομή προσδιορίζεται πλήρως, όταν είναι γνωστές οι τιμές του μέσου όρου και της τυπική απόκλισης. Τότε με ολοκλήρωση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής μπορούμε να υπολογίσουμε οποιαδήποτε πιθανότητα της μορφής P(x1≤Χ≤x2). Η τυπική κανονική κατανομή είναι χρήσιμη γιατί ενώ γενικά η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι αρκετά σύνθετη και δύσκολα ολοκληρώσιμη ώστε να υπολογιστούν οι ζητούμενες κατά περίπτωση πιθανότητες, υπάρχουν ωστόσο πίνακες αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας διαθέσιμοι για την τυπική κανονική κατανομή. Αν και η κανονική κατανομή χρησιμοποιείται σε πάρα πολλές εφαρμογές, δεν καλύπτει όλες τις ανάγκες της επαγωγικής στατιστικής. Υπάρχουν και ορισμένες άλλες βασικές κατανομές, oi οποίες έχουν σημαντικές εφαρμογές στους στασιαστικούς ελέγχους που παρουσιάζονται. Η πλέον σημαντική είναι η κατανομή t ή t του Student. Η κατανομή t είναι στην πραγματικότητα μια οικογένεια κατανομών που διαφοροποιούνται επειδή έχουν διαφορετικούς βαθμούς ελευθερίας. Μοιάζει με την τυπική κατανομή και όταν έχει άπειρους βαθμούς ελευθερίας δηλαδή πρακτικά πολλούς βαθμούς ελευθερίας, προσεγγίζεται από την τυπική κανονική κατανομή. Άρα ως πρακτικό κανόνα μπορούμε να θυμόμαστε ότι όταν σε ένα πρόβλημα εκτίμησης της μέσης τιμής, εξαιτίας μικρού δείγματος, έχουμε λίγους βαθμούς ελευθερίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την t κατανομή, ενώ όταν οι βαθμοί ελευθερίας είναι περισσότεροι από 30 χρησιμοποιούμε την τυπική κανονική κατανομή.